¿Podría una persona casada, conviviendo con su cónyuge, adoptar como persona independiente a un hijo?. Si esto fuese posible, ¿Que responsabilidad tendría el conyuge sobre ese niño adoptado?

No estoy muy seguro, pero en principio sólo puedes adoptar hijos como soltero o como matrimonio, pero estando casado y que sólo adopte uno de los cónyuges creo que no es posible, pero no lo sé con certeza (si es eso lo que preguntas)
En caso de ser posible, la otra parte no tendrá nada con el niño adoptado ya que no es tutor ni tiene relación alguna con el mismo (aunque vivan en la misma casa, me refieron documentalmente no hay vínculo con el niño adoptado), por eso no creo que sea posible (es una situación extraña que sólo adopte uno y viva con dos).
Así que por lógica no creo que sea posible, pero espero que alguien te lo pueda confirmar con alguna base más cierta porque yo lo dicho, no estoy seguro.

Sí puede adoptar. El cónyuge no tendría responsabilidad alguna respecto del hijo de su esposo/a.